Conjuntos numéricos

Chamamos de conjuntos numéricos aqueles cujos elementos são números. A seguir, apresentaremos quais os principais estudados na Matemática, além de algumas propriedades.

Denotamos por \(\mathbb{N}\) o conjunto dos números naturais que são:

$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\}$$

Observe que cada elemento desse conjunto (a partir do 1) é igual à soma do seu antecessor com 1. Por exemplo, 3=2+1, 4=3+1 e assim por diante.

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A partir da necessidade de se obter o valor da diferença, por exemplo, 2-4, nasceu o conjunto dos números inteiros, que é indicado por \(\mathbb{Z}\).

Esse conjunto engloba os números naturais, o zero e os números negativos, que são resultados da diferença entre dois naturais cuja solução não se encontra em \(\mathbb{N}\):

$$\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots\}$$

Observe que todo número natural é um número inteiro, porém a recíproca não é verdadeira.

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Subconjuntos de \(\mathbb{Z}\)

Podemos formar, a partir do conjunto dos números inteiros, os seguintes subconjuntos:

• Números inteiros diferentes de zero:

$$\mathbb{Z}^{\ast}=\{\ldots,-3,-2,1,1,2,3,\ldots\}$$

• Números inteiros positivos:

$$\mathbb{Z}_{+}=\{0,1,2,3,\ldots\}$$

• Números inteiros positivos e diferentes de zero:

$$\mathbb{Z}_{+}^{\ast}=\{1,2,3,\ldots\}$$

• Números inteiros negativos:

$$mathbb{Z}_{-}=\{\ldots,-3,-2,-1\}$$

Um número será racional se ele puder ser escrito em forma de uma fração de números inteiros. Por exemplo, são números racionais:

$$\frac{3}{5},\frac{-2}{5},\frac{1000}{1},\frac{-993}{23}$$

Note que todo número inteiro (e, portanto, todo número natural) também é um número racional. Como a fração é uma representação de uma divisão, podemos escrever, por exemplo, o número 2 através da divisão entre 4 e 2, isto é:

$$2=\frac{4}{2}$$

Mais genericamente, todo número inteiro \(n\), quando dividido por 1, é igual a ele mesmo, ou seja:

$$n=\frac{n}{1}$$

Logo, todo número inteiro é um número racional.

As dízimas periódicas também são números racionais, uma vez que elas podem ser reescritas através de frações de números inteiros:

$$0,333\ldots=\frac{1}{3}$$

Assim, indicamos por \(\mathbb{Q}\) o conjunto dos números racionais:

$$\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q},p,q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}$$

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Subconjuntos de \(\mathbb{Q}\)

De maneira similar, podemos construir os seguintes subconjuntos de \(\mathbb{Q}\):

• Números racionais diferentes de zero: \(\mathbb{Q}^{\ast}\)
• Números racionais positivos: \(\mathbb{Q}_{+}\)
• Números racionais positivos e diferentes de zero: \(\mathbb{Q}^{\ast}_{+}\)
• Números racionais negativos: \(\mathbb{Q}_{-}\)

O conjunto dos números irracionais, denotado por \(\mathbb{I}\) ou \(\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) é aquele formado por todos os números que não podem ser escritos em forma de frações de números inteiros, ou seja, aqueles que não são racionais.

O exemplo mais conhecido de um número irracional é o \(\pi\), que vale aproximadamente 3,14 e equivale à razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro:

Além disso, outros exemplos de números irracionais são todas as raízes quadradas de números primos:

$$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},\ldots$$

É evidente que ou um número é racional ou ele é irracional.

Indicamos por \(\mathbb{R}\) o conjunto dos números reais, o qual é formado pela união entre o conjunto dos números racionais \(\mathbb{Q}\) e dos irracionais \(\mathbb{I}\):

$$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$$

É bastante comum ilustrarmos \(\mathbb{R}\) através de uma reta que chamamos de reta real, orientada para a direita. Isto é: tomando um ponto qualquer na reta para indicar o número 0, então os valores à direita de 0 são números reais positivos e à esquerda, negativos:

Subconjuntos de \(\mathbb{R}\)

Podemos obter os seguintes subconjuntos de números reais:

• Números reais diferentes de zero: \(\mathbb{R}^{\ast}\)
• Números reais positivos: \(\mathbb{R}_{+}\)
• Números reais positivos e diferentes de zero: \(\mathbb{R}^{\ast}_{+}\)
• Números reais negativos: \(\mathbb{R}_{-}\)

Um tipo de subconjunto dos números reais muito trabalhado é o intervalo real, que pode ser dos seguintes tipos:

• Intervalo fechado: \([a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}\):
  
• Intervalo aberto: \(]a,b[=\{x\in\mathbb{R]\mid a<x<b\}\):
  
  

E há suas variações: intervalo semi-aberto (ou semi-fechado): \(]a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\}\)

E também aquelas envolvendo infinito: \(]-\infty,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\}\)

Ou, por exemplo, \([a,+\infty[=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq a\}\)