Equação da parábola: definições, exemplos e exercícios

Uma parábola é uma das curvas mais fundamentais na matemática e tem uma ampla variedade de aplicações em várias áreas, desde a física até a engenharia. Neste guia, exploraremos o que é uma parábola, começando com sua definição e depois mergulhando nas equações que a descrevem.

Uma parábola é uma curva geométrica que pode ser definida de forma simples como o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo, chamado foco, e uma reta fixa, chamada diretriz. 

Isso significa que, para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco é igual à distância até a diretriz. 

As parábolas têm várias características notáveis que as tornam fundamentais em matemática e em várias aplicações práticas. Aqui estão algumas das características mais importantes das parábolas:

Vértice da Parábola

O vértice de uma parábola é o ponto em que a curva atinge seu ponto mais alto (para parábolas com concavidade para baixo) ou seu ponto mais baixo (para parábolas com concavidade para cima) na direção vertical. 

Para parábolas horizontais, o vértice é o ponto mais à esquerda (concavidade  para a direita) ou à direita (concavidade para a esquerda) na direção horizontal. O vértice é uma parte fundamental da parábola, pois fornece informações cruciais sobre sua posição no plano cartesiano.

Eixo de Simetria

O eixo de simetria de uma parábola é uma linha reta que divide a parábola em duas metades simétricas e passa pelo foco e pelo vértice. Ele também é perpendicular à diretriz da parábola. O eixo de simetria é uma característica importante, pois simplifica a análise matemática e a construção de gráficos de parábolas. Ele desempenha um papel fundamental na determinação da direção da abertura e na localização do foco e do vértice.

Foco da Parábola

O foco de uma parábola é um ponto especial que desempenha um papel crucial em sua definição. Para parábolas com abertura vertical, o foco está localizado acima ou abaixo do vértice, ao longo do eixo de simetria. 

Para parábolas com abertura horizontal, o foco está localizado à esquerda ou à direita do vértice, também ao longo do eixo de simetria. Os raios refletidos de uma parábola paralelos ao eixo de simetria sempre convergem no foco, um fenômeno que tem aplicações em lentes e espelhos parabólicos.

Reta Diretriz

A diretriz de uma parábola é uma reta fixa que está em uma posição específica em relação à curva da parábola. A diretriz desempenha um papel importante na definição e no estudo das parábolas, especialmente em contextos envolvendo reflexão de luz ou som em superfícies parabólicas, como espelhos e antenas parabólicas.

A posição da diretriz em relação ao vértice da parábola é determinada pelo valor da distância focal (p). A diretriz está localizada a uma distância igual à distância focal da parábola, perpendicular ao eixo de simetria.

Concavidade da Parábola

A concavidade de uma parábola se refere à direção na qual a curva da parábola se abre no plano cartesiano. Ela está diretamente relacionada aos coeficientes na equação da parábola.

A equação da parábola é uma expressão algébrica que descreve sua forma e posição em um sistema de coordenadas. Existem quatro formas principais de equações de parábolas:

Concavidade para Cima

Ocorre quando o coeficiente 2p na equação da parábola é positivo (2p>0).

x² = 2p.y

Nesse caso, a parábola tem a forma de um "U" e se abre na direção do eixo y positivo (para cima). A reta diretriz da parábola é dada por:

y = -p/2

Concavidade para Baixo

Ocorre quando o coeficiente 2p na equação da parábola é negativo (2p<0).

x² = -2p.y 

Nesse caso, a parábola tem a forma de uma seta apontando para baixo e se abre na direção do eixo y negativo (para baixo). A reta diretriz da parábola é dada por:

y = p/2

Concavidade para a Direita

Ocorre quando o coeficiente 2p na equação da parábola é positivo (2p>0).

y² = 2p.x

A parábola tem uma forma característica que se abre na direção do eixo x negativo (para a esquerda). A reta diretriz da parábola é dada por:

r: x = -p/2

Concavidade para a Esquerda

Ocorre quando o coeficiente 2p na equação da parábola é negativo (2p<0).

y² = -2p.x

Nesse caso, a parábola se abre na direção do eixo x positivo (para a direita). A reta diretriz da parábola é dada por:

r: x = p/2

Confira alguns exemplos do uso das equações da parábola:

Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo \(y\)

Por exemplo, se tivermos a parábola:

temos \(p=4\), então sua equação será:

$$y^{2}=-2\cdot4x\Rightarrow y^{2}=-8x$$

Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo \(x\)

Ao tomarmos, como exemplo, a parábola abaixo

ou seja, \(p=6\), pois esta é a distância de \(r\) a \(F\). Concluímos que sua equação será

$$x^{2}=-2\cdot6\cdot y\Rightarrow x^{2}=-12y$$